Lythuyetbai11check

30/11/2024

BÀI 11. NGUYÊN HÀM

A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM

I. NGUYÊN HÀM CỦA 1 HÀM SỐ

Cho hàm số xác định trên một khoảng (hoặc một đoạn, hoặc một nửa khoảng). Hàm số được gọi là một nguyên hàm của hàm số trên nếu với mọi thuộc .

Chú ý. Trường hợp thì các đẳng thức và được hiểu là đạo hàm bên phải tại điểm và đạo hàm bên trái tại điểm của hàm số , tức là

Ví dụ 1. Cho hàm số . Trong các hàm số cho dưới đây, hàm số nào là một nguyên hàm của hàm số trên ?

a) ; b) .

Lời giải

Ta có: .

Vì với mọi nên hàm số là một nguyên hàm của trên .

Hàm số không là nguyên hàm của trên vì với , ta có

Định nghĩa

Giả sử hàm số là một nguyên hàm của trên . Khi đó:

a) Với mỗi hằng số , hàm số cũng là một nguyên hàm của trên ;

b) Nếu hàm số là một nguyên hàm của trên thì tồn tại một hằng số sao cho với mọi .

Như vậy, nếu là một nguyên hàm của trên thì mọi nguyên hàm của trên đều có dạng ( là hằng số). Ta gọi là họ các nguyên hàm của trên , kí hiệu bởi .

Chú ý:

a) Để tìm họ các nguyên hàm (gọi tắt là tìm nguyên hàm) của hàm số trên , ta chỉ cần tim một nguyên hàm của trên và khi đó là hằng số.

b) Người ta chứng minh được rằng, nếu hàm số liên tục trên khoảng thì có nguyên hàm trên khoảng đó.

c) Biểu thức gọi là vi phân của nguyên hàm , kí hiệu là . Vậy .

d) Khi tìm nguyên hàm của một hàm số mà không chỉ rõ tập , ta hiểu là tìm nguyên hàm của hàm số đó trên tập xác định

Ví dụ 2. Tìm một nguyên hàm của hàm số trên . Từ đó hãy tìm .

Lời giải

Vì nên là một nguyên hàm của hàm số trên . Do đó, .

2. TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA NGUYÊN HÀM

Nguyên hàm của tích một hàm số với một hằng số khác 0

Ví dụ 3. Sử dụng kết quả của Ví dụ 2, hãy tìm:

a) b)

Lời giải

Ta có:

a) .

b) .

Nguyên hàm của một tổng

Ví dụ 4. Sử dụng kết quả của Luyện tập 3 và tính chất cơ bản của nguyên hàm, hãy tìm:

a) ; b) .

Lời giải

Ta có:

a) .

Ví dụ 5. Giải bài toán : Một máy bay di chuyển ra đến đường băng và bắt đầu chạy đà để cất cánh. Giả sử vận

tốc của máy bay khi chạy đà được cho bởi , với là thời gian (tính bằng giây) kể từ khi máy bay bắt đầu chạy đà. Sau 30 giây thì máy bay cất cánh rời đường băng. Quãng đường máy bay đã di chuyển từ khi bắt đầu chạy đà đến khi rời đường băng là bao nhiêu mét?

Lời giải

Gọi là quãng đường máy bay di chuyển được sau giây kể từ lúc bắt đầu chạy đà.

Ta có . Do đó, là một nguyên hàm của hàm số vận tốc . Sử dụng tính chất của nguyên hàm ta đượcTheo giả thiết, nên và ta được .

Máy bay rời đường băng khi (giây) nên .

Vậy quãng đường máy bay đã di chuyển từ khi bắt đầu chạy đà đến khi nó rời đường băng là .

3. NGUYÊN HÀM CỦA MỘT SỐ HÀM SỐ THƯỜNG GẶP

a) Nguyên hàm của hàm số lũy thừa

Hàm số luỹ thừa có đạo hàm với mọi và

. .

Ví dụ 6. Tìm:

a) ; b) ; c) .

Lời giải

a) .

b) .

c) .

b) Nguyên hàm của hàm số lượng giác

Ví dụ 7. Tìm:

a) b)

Lời giải

a) .

b) .

c) Nguyên hàm của hàm số mũ

Ví dụ 8. Tìm:

a) ; b) ; c) .

Lời giải

a) .

b) .

c) .

Ta tổng kết lại bảng nguyên hàm của một số hàm số thường gặp như sau.

Dựa vào bảng nguyên hàm của các hàm số thường gặp và tính chất cơ bản của nguyên hàm, ta có thể tìm được nguyên hàm của nhiều hàm số khác.

B. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA

4.1. Trong mỗi trường hợp sau, hàm số có là một nguyên hàm của hàm số trên khoảng tương ứng không? Vì sao?

a) và trên khoảng ;

b) và trên .

Lời giải

a) Có .

Do đó, hàm số là một nguyên hàm của hàm số trên khoảng .

b) Có .

Do đó, hàm số không là nguyên hàm của hàm số trên .

4.2. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:

a) b)

c) ; d) .

Lời giải

4.3. Tìm:

a) b) ;

c) ; d) .

Lời giải

4.4. Tìm:

a) ; b) ;

c) d)

Lời giải

4.5. Cho hàm số xác định trên khoảng . Biết rằng, với mọi và . Tính giá trị .

Lời giải

Vì nên

Mà nên , suy ra . Do đó, hàm số

Vậy

4.6. Cho hàm số có đồ thị là . Xét điểm thay đổi trên . Biết rằng, hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị tại là và điểm trùng với gốc toạ độ khi nó nằm trên trục tung. Tìm biểu thức .

Lời giải

Vì hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị tại là nên ta có:

Vì điểm M trùng với gốc tọa độ khi nó nằm trên trục tung nên .

Do đó

4.7. Một viên đạn được bắn thẳng đứng lên trên từ mặt đất. Giả sử tại thời điểm giây (coi là thời điểm viên đạn được bắn lên), vận tốc của nó được cho bởi . Tìm độ cao của viên đạn (tính từ mặt đất):

a) Sau giây;

b) Khi nó đạt độ cao lớn nhất (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất).

Lời giải

Gọi là độ cao của viên đạn bắn lên từ mặt đất sau giây kể từ thời điểm đạn được bắn lên.

Khi đó . Vì S(0) nên .

Do đó .

a) Sau 5 giây độ cao của viên đạn là: .

b) Có

Viên đạn đạt độ cao lớn nhất là khi giây.

C. CÁC DẠNG TOÁN

Dạng 1: Nguyên Hàm Đa Thức

1. Phương pháp

Dùng các phép biến đổi, các phương pháp tính nguyên hàm đưa nguyên hàm về nguyên hàm hàm đa thức: ;

2. Ví dụ

Ví dụ 1. Tính

Lời giải

Ta có .

Ví dụ 2. Tìm họ tất cả nguyên hàm của hàm số

Lời giải

Ta có .

Ví dụ 3. Tìm họ nguyên hàm của hàm số

Lời giải

Ví dụ 4: Tìm nguyên hàm của hàm số .

Lời giải

Ta có: .

Khi đó: =.

Ví dụ 5: Biết hàm số có , và đồ thị của hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng . Tìm hàm số

Lời giải

Theo lý thuyết ta có:.

Ta có: .

Khi đó có dạng:

Theo đề ta có: .

Vậy hàm số .

Dạng 2: Nguyên Hàm Phân Thức

1. Phương pháp: Tách hàm số muốn lấy nguyên hàm thành các hàm số phân thức cơ bản:

;

2. Các ví dụ

Ví dụ 1: Cho là một nguyên hàm của hàm số ; biết . Tính .

Lời giải

Ta có ;

Ví dụ 2: Tính nguyên hàm .

Lời giải

Ta có: .

Ví dụ 3: Tìm nguyên hàm

Lời giải

Ví dụ 4: Biết là một nguyên hàm của hàm số và Tính

Lời giải

Do nên

Ví dụ 5: Biết Tính giá trị biểu thức

Lời giải

Dạng 3: Nguyên Hàm Căn Thức

1. Phương pháp

Đổi biến số đưa nguyên hàm cần tìm về nguyên hàm của hàm lũy thừa hoặc nguyên hàm của hàm phân thức.

Chú ý thêm các công thức mở rộng sau:

2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng

Ví dụ 1: Tìm nguyên hàm của hàm số

Lời giải

Ví dụ 2: Tìm nguyên hàm

Lời giải

Ta có

Ví dụ 3: Tính

Lời giải

Dạng 4. Nguyên hàm của hàm số lượng giác

1. Phương pháp

* Bảng nguyên hàm cơ bản:

2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng

Ví dụ 1: Tìm nguyên hàm của hàm số

Lời giải

Ta có:

Ví dụ 2: Tìm nguyên hàm

Lời giải

Ta có

Ví dụ 3: Tìm nguyên hàm của hàm số

Lời giải

Ta có

Suy ra

Ví dụ 4: Cho và Tính

Lời giải

Ta có:

Dạng 5: Nguyên Hàm Hàm Mũ, Loga

1. Phương pháp

2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng

Ví dụ 1: Cho . Tìm

Lời giải

Ta có .

Vậy .

Ví dụ 2: Hàm số có một nguyên hàm là . Tìm nguyên hàm của hàm số

Lời giải

Ta có:

Suy ra: .

Ví dụ 3: Cho là một nguyên hàm của hàm số thỏa mãn . Tìm

Lời giải

Cách 1: Xét đáp án , ta có: .

Cách 2: Ta có .

là 1 nguyên hàm của hàm số suy ra có dạng

Theo đề bài Vậy

Ví dụ 4. Biết là một nguyên hàm của hàm số và . Tính

Lời giải

Khi đó .

Dạng 6: Bài tập tổng hợp

Câu 1: Cho hàm số, ta có . Giá trị của biểu thức bằng

Lời giải

Vìnên

Suy ra đồng nhất 2 biểu thức ta được hệ phương trình sau: . Suy ra: .

Câu 2: Gọi là một nguyên hàm của hàm số , thỏa mãn . Tính giá trị biểu thức .

Lời giải

Ta có

là một nguyên hàm của hàm số , ta có mà

Câu 3: Cho hàm số xác định trên thỏa mãn , , . Tính .

Lời giải

Trên khoảng : .

Mà .

Trên khoảng .

Mà .

Vậy . Suy ra .

Câu 4: Biết là một nguyên hàm của hàm số trên . Tính

Lời giải

Tính .

Suy ra nên .

Tính suy ra .

Câu 5: Cho hàm số thỏa mãn và với mọi . Tính .

Lời giải

Ta có:

Với thì .

Do đó . Vậy hay .

Câu 6: Cho hàm số xác định trên , thỏa mãn , và . Tính biết rằng .

Lời giải

Vì , nên ta có: .

Cho

Do đó: . Do đó:.

Câu 7: Cho hàm số thỏa mãn và . Tính giá trị của

Lời giải

Ta có

Lại có nên do đó

Mà nên . Vậy

Câu 8: Cho hàm số liên tục trên đoạn thỏa mãn và với mọi . Biết rằng . Tính giá trị của

Lời giải

Ta có:

Thay ta được: .

Thay ta được.

Thay ta được .

Dạng 7 : Toán thực tế

Ví dụ 1. Khi được thả từ độ cao 20 m, một vật rơi với gia tốc không đổi . Sau khi rơi đ̛ược giây thì vật có tốc độ bao nhiêu và đi được quãng đường bao nhiêu?

Lời giải

Kí hiệu là tốc độ của vật, là quãng đường vật đi được cho đến thời điểm giây kể từ khi vật bắt đầu rơi. Vì với mọi nên Ta có nên hay . Vậy .

Vì với mọi nên Ta có nên hay . Vậy . Vật rơi từ độ cao 20 m nên , suy ra . Vậy sau khi vật rơi được giây thì vật có tốc độ và đi được quãng đường .

Ví dụ 2. Kí hiệu là chiều cao của một cây (tính theo mét) sau khi trồng năm. Biết rằng sau năm đầu tiên cây cao 2 m . Trong 10 năm tiếp theo, cây phát triển với tốc độ (m/ năm).

a) Xác định chiều cao của cây sau năm .

b) Sau bao nhiêu năm cây cao 3 m ?

Lời giải

a) Chiều cao của cây sau năm là: .

Mà nên . Do đó .

b) Cây cao tức là . Vậy sau khoảng 2,72 năm thì cây cao .

Ví dụ 3. Một chiếc xe đang chuyển động với tốc độ thì tăng tốc với gia tốc không đổi . Tính quãng đường xe đó đi được trong 3 giây kể từ khi bắt đầu tăng tốc.

Lời giải

Kí hiệu là tốc độ của xe, là quãng đường xe đi được cho đến thời điểm giây kể từ khi xe tăng tốc.

Vì nên . Mà nên . Do đó .

Có . Vì . Do đó . Quãng đường xe đó đi được trong 3 giây kể từ khi bắt đầu tăng tốc là

Ví dụ 4: Vi khuẩn HP (Helicobacter pylori) gây đau dạ dày tại ngày thứ t với số lượng là F(t), biết nếu phát hiện sớm khi số lượng vi khuẩn không vượt quá 5000 con thì bệnh nhân sẽ được cứu chữa. Biết tốc độ phát triển của vi khuẩn tại ngày thứ t là và ban đầu bệnh nhân có 2000 con vi khuẩn. Sau 10 ngày bệnh nhân phát hiện ra bị bệnh. Hỏi khi đó có bao nhiêu con vi khuẩn trong dạ dày ( lấy xấp xỉ hàng thập phân thứ hai)?

Lời giải

 Tốc độ phát triển của vi khuẩn tại ngày thứ t là . Suy ra số lượng vi khuẩn vào ngày thứ t được tính theo công thức

 Lúc ban đầu bệnh nhân có 2000 con vi khuẩn nên

 Số vi khuẩn sau 10 ngày là con

Ví dụ 5: Tốc độ thay đổi số dân của một thị trấn kể từ năm 1970 được mô tả bằng công thức , với t là thời gian tính bằng năm (thời điểm t = 0 ứng với năm 1970). Biết rằng số dân của thị trấn vào năm 1970 là 2000 người. Hỏi số dân của thị trấn đó vào năm 2008 ước tính là bao nhiêu ?