PHẦN I. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.

Câu 1: Tìm nguyên hàm của hàm số .

A. . B. .

C. . D. .

Câu 2: Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường , , , . Gọi là thể tích của khối tròn xoay được tạo thành khi quay xung quanh trục . Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. B. C. D.

Câu 3: Mỗi ngày bác Hương đều đi bộ để rèn luyện sức khỏe. Quãng đường đi bộ mỗi ngày của bác Hương trong 20 ngày được thống kê lại ở bảng sau:

Quãng đường
Số ngày	3	6	5	4	2

Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm là

A. 3,39. B. 11,62. C. 0,13. D. 0,36.

Câu 4: Trong không gian với hệ tọa độ , cho điểm . Gọi , lần lượt là hình chiếu vuông góc của lên các trục , . Vectơ nào dưới đây là một véctơ chỉ phương của đường thẳng ?

A. B. C. D.

Câu 5: Đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số có phương trình là:

A. . B. . C. . D. .

Câu 6: [2D2-0.0-2] Tìm tập xác định của hàm số .

A. . B. . C. . D. .

Câu 7: [2H3-0.0-2] Trong không gian , mặt phẳng đi qua tâm của mặt cầu và song song với mặt phẳng có phương trình là:

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Câu 8: Cho hình chóp có đáy là tam giác vuông tại , cạnh bên vuông góc với . Gọi là trung điểm cạnh , là hình chiếu của trên . Khẳng định nào sau đây đúng?

A. . B. . C. . D. .

Câu 9: Tích tất cả các nghiệm của phương trình bằng

A. . B. . C. . D. .

Câu 10: Tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn có số hạng đầu và công bội

A. . B. . C. . D. .

Câu 11: Cho hình chóp có đáy là hình bình hành. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. . B. .

C. . D. .

Câu 12: Cho hàm số có bảng biến thiên như sau:

Hàm số nghịch biến trong khoảng nào?

A. . B. . C. . D. .

PHẦN II. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.

Câu 1: Cho hàm số .

a) .

b) Đồ thị hàm số nhận trục tung làm tiệm cận ngang.

c) Hàm số có điểm cực đại là .

d) Tập giá trị của hàm số đã cho là đoạn thì .

Câu 2: Một chất điểm xuất phát từ , chuyển động thẳng với vận tốc biến thiên theo thời gian bởi quy luật , trong đó (giây) là khoảng thời gian tính từ lúc bắt đầu chuyển động. Từ trạng thái nghỉ, một chất điểm cũng xuất phát từ , chuyển động thẳng cùng hướng với nhưng chậm hơn giây so với và có gia tốc bằng ( là hằng số). Sau khi xuất phát được giây thì đuổi kịp .

a)

b) Quãng đường chất điểm đi được trong giây là .

c) Quãng đường chất điểm đi được trong giây là .

d) Vận tốc của tại thời điểm đuổi kịp là

Câu 3: Trong không gian cho mặt cầu Phương trình mặt phẳng chứa trục và cắt theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính bằng 2.

a) Mặt cầu có tâm và bán kính

b) Gốc tọa độ nằm trong mặt cầu

c) Khoảng cách từ tâm mặt cầu đến mặt phẳng là

d) Mặt phẳng có phương trình là:

Câu 4: Ở huyện Đông Anh, Hà Nội, vào tháng 7, người ta đo được xác suất để có mưa vào thứ hai là . Nếu trời có mưa vào thứ hai thì xác suất để có mưa vào thứ ba là . Nếu thứ hai không có mưa thì xác suất để có mưa vào thứ ba là .

a) Biểu thức theo biến cho biết xác suất để mưa sẽ rơi vào cả thứ hai và thứ ba là

b) Khả năng trời sẽ có mưa vào cả thứ hai và thứ ba là khi .

c) Biểu thức theo biến , cho biết xác suất để trời sẽ mưa vào thứ ba là .

d) Xác suất để có mưa vào thứ hai với điều kiện của biến thỏa mãn xác suất trời sẽ mưa vào thứ ba lớn nhất bằng .

PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.

Câu 1: Cho lăng trụ tam giác đều có cạnh . Gọi là trung điểm cạnh . Biết góc giữa hai đường thẳng và là . Tính khoảng cách giữa đường thẳng và . (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

Câu 2: Có ba lớp học sinh gồm 128 em cùng tham gia lao động trồng cây. Mỗi em lớp trồng được 3 cây bạch đàn và 4 cây bàng. Mỗi em lớp trồng được 2 cây bạch đàn và 5 cây bàng. Mỗi em lớp trồng được 6 cây bạch đàn. Cả ba lớp trồng được là 476 cây bạch đàn và 375 cây bàng. Hỏi lớp 10C có bao nhiêu học sinh?

Câu 3: Trong không gian , một ngọn hải đăng được đặt ở vị trí , biết bán kính phủ sóng của ngọn đèn là . Giả sử người đi biển di chuyển theo đường thẳng từ vị trí đến vị trí . Tìm cao độ của vị trí cuối cùng trên đoạn thẳng sao cho người đi biển còn có thể nhìn thấy được ánh sáng từ ngọn hải đăng.

Câu 4: Sân trường có một bồn hoa hình tròn tâm . Một nhóm học sinh lớp 12 được giao thiết kế bồn hoa, nhóm này định chia bồn hoa thành bốn phần bởi hai đường parabol có cùng đỉnh và đối xứng nhau qua . Hai đường parabol này cắt đường tròn tại bốn điểm tạo thành một hình vuông có cạnh bằng 4 m (như hình vẽ). Phần diện tích dùng để trồng hoa, phần diện tích dùng để trồng cỏ (Diện tích làm tròn đến chữ số

thập phân thứ hai). Biết kinh phí trồng hoa là 150.000 đồng/m²,

kinh phí để trồng cỏ là 100.000 đồng/m². Hỏi nhà trường cần

bao nhiêu tiền để trồng bồn hoa đó? (Đơn vị tính nghìn đồng)

chục nghìn).

Câu 5: Một con cá hồi bơi ngược dòng (từ nơi sinh sống) vượt khoảng cách để tới nơi sinh sản. Vận tốc dòng nước là . Giả sử vận tốc hơi của cả khi mước đứng yên là thì năng lượng tiêu hao của cả trong giờ cho bởi công thức trong đó là hàng số cho trước. tính hằng Jun. Tình vận tốc bơi của cả khi nước đứng yên, để năng lượng của cả tiêu hao ít nhất?

Câu 6: Có lọ hóa chất trong đó có lọ loại I, Iọ loại II. Nếu dùng lọ loại I thì kết quả tốt với xác suất , nếu dùng lọ loại II thì kết quả tốt với xác suất . Tìm xác suất để lọ hóa chất tốt này thuộc loại I.

HẾT

 

 

HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT ĐỀ SỐ 02

PHẦN I. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.

Câu 1: Tìm nguyên hàm của hàm số .

A. . B. .

C. . D. .

Lời giải

Chọn A

Ta có .

Câu 2: Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường , , , . Gọi là thể tích của khối tròn xoay được tạo thành khi quay xung quanh trục . Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. B. C. D.

Lời giải

Chọn A

Thể tích của khối tròn xoay được tạo thành khi quay xung quanh trục là: .

Câu 3: Mỗi ngày bác Hương đều đi bộ để rèn luyện sức khỏe. Quãng đường đi bộ mỗi ngày của bác Hương trong 20 ngày được thống kê lại ở bảng sau:

Quãng đường
Số ngày	3	6	5	4	2

Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm là

A. 3,39. B. 11,62. C. 0,13. D. 0,36.

Lời giải

Chọn C

+ Cỡ mẫu: .

Quãng đường
Giá trị đại diện	2,85	3,15	3,45	3,75	4,05
Số ngày	3	6	5	4	2

+ Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm là

.

+ Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm là

.

Câu 4: Trong không gian với hệ tọa độ , cho điểm . Gọi , lần lượt là hình chiếu vuông góc của lên các trục , . Vectơ nào dưới đây là một véctơ chỉ phương của đường thẳng ?

A. B. C. D.

Lời giải

Chọn C

là hình chiếu của lên trục .

là hình chiếu của lên trục .

Khi đó: là một vectơ chỉ phương của .

Câu 5: Đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số có phương trình là:

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn B

Ta có: nên đồ thị hàm số có TCN: .

Câu 6: [2D2-0.0-2] Tìm tập xác định của hàm số .

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn C

Hàm số xác định khi và chỉ khi .

Vậy tập xác định của hàm số là: .

Câu 7: [2H3-0.0-2] Trong không gian , mặt phẳng đi qua tâm của mặt cầu và song song với mặt phẳng có phương trình là:

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn C

Mặt cầu có tâm .

Mặt phẳng song song mặt phẳng nên có dạng , qua nên .

Vậy mặt phẳng cần tìm là .

Câu 8: Cho hình chóp có đáy là tam giác vuông tại , cạnh bên vuông góc với . Gọi là trung điểm cạnh , là hình chiếu của trên . Khẳng định nào sau đây đúng?

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn B

Vì nên .

Câu 9: Tích tất cả các nghiệm của phương trình bằng

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn C

Ta có .

Khi đó tích các nghiệm của phương trình là .

Câu 10: Tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn có số hạng đầu và công bội

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn B

Theo công thức tính tổng cấp số nhân lùi vô hạn ta có:

.

Câu 11: Cho hình chóp có đáy là hình bình hành. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. . B. .

C. . D. .

Lời giải

Chọn A

Ta có .

Câu 12: Cho hàm số có bảng biến thiên như sau:

Hàm số nghịch biến trong khoảng nào?

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn B

Dựa vào BBT ta có hàm số nghịch biến trong khoảng .

PHẦN II. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.

Câu 1: Cho hàm số .

a) .

b) Đồ thị hàm số nhận trục tung làm tiệm cận ngang.

c) Hàm số có điểm cực đại là .

d) Tập giá trị của hàm số đã cho là đoạn thì .

Lời giải

a) Đúng.

b) Đúng vì.

c) Đúng.

Tập xác định:.

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên suy ra là điểm cực đại của hàm số .

d) Sai.

Từ kết quả câu b) và c) ta suy ra tập giá trị của hàm số là .

Câu 2: Một chất điểm xuất phát từ , chuyển động thẳng với vận tốc biến thiên theo thời gian bởi quy luật , trong đó (giây) là khoảng thời gian tính từ lúc bắt đầu chuyển động. Từ trạng thái nghỉ, một chất điểm cũng xuất phát từ , chuyển động thẳng cùng hướng với nhưng chậm hơn giây so với và có gia tốc bằng ( là hằng số). Sau khi xuất phát được giây thì đuổi kịp .

a)

b) Quãng đường chất điểm đi được trong giây là .

c) Quãng đường chất điểm đi được trong giây là .

d) Vận tốc của tại thời điểm đuổi kịp là

Lời giải

a) Đúng

Ta có , .

Vậy a) đúng

b) Đúng

Quãng đường chất điểm đi được trong giây là

.

Vậy b) đúng

c) Sai

Quãng đường chất điểm đi được trong giây là

.

Vậy c) sai

d) Đúng

Ta có .

Vận tốc của tại thời điểm đuổi kịp là .

Vậy d) đúng

Câu 3: Trong không gian cho mặt cầu Phương trình mặt phẳng chứa trục và cắt theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính bằng 2.

a) Mặt cầu có tâm và bán kính

b) Gốc tọa độ nằm trong mặt cầu

c) Khoảng cách từ tâm mặt cầu đến mặt phẳng là

d) Mặt phẳng có phương trình là:

Lời giải

a) Sai. có nên có tâm và bán kính

b) Sai. Vì nên nằm ngoài mặt cầu

c) Sai. cắt theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính bằng 2 nên

Ta có

Vậy khoảng cách từ tâm mặt cầu đến mặt phẳng là

d) Đúng. Gọi là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng

Vì phẳng chứa trục nên có một vectơ chỉ phương là

Ta có

Mặt phẳng đi qua và nhận vectơ làm vectơ pháp tuyến có phương trình:

Vì

Chọn Vậy mặt phẳng có phương trình là:

Câu 4: Ở huyện Đông Anh, Hà Nội, vào tháng 7, người ta đo được xác suất để có mưa vào thứ hai là . Nếu trời có mưa vào thứ hai thì xác suất để có mưa vào thứ ba là . Nếu thứ hai không có mưa thì xác suất để có mưa vào thứ ba là .

a) Biểu thức theo biến cho biết xác suất để mưa sẽ rơi vào cả thứ hai và thứ ba là

b) Khả năng trời sẽ có mưa vào cả thứ hai và thứ ba là khi .

c) Biểu thức theo biến , cho biết xác suất để trời sẽ mưa vào thứ ba là .

d) Xác suất để có mưa vào thứ hai với điều kiện của biến thỏa mãn xác suất trời sẽ mưa vào thứ ba lớn nhất bằng .

Lời giải

Gọi biến cố là: “Có mưa vào thứ hai”.

là: “Có mưa vào thứ ba”.

Từ giả thiết có

và

a) Xác suất để mưa sẽ rơi vào cả thứ hai và thứ ba là suy ra mệnh đề sai.

b) Để khả năng trời sẽ có mưa vào cả thứ hai và thứ ba là thì

suy ra mệnh đề sai.

c) Xác suất để trời sẽ mưa vào thứ ba là

suy ra mệnh đề sai.

d) Điều kiện của biến

Xét hàm số trên đoạn

Ta có

Suy ra

Như vậy, khi thì xác suất trời sẽ mưa vào thứ ba là lớn nhất.

Theo công thức Bayes, xác suất để có mưa vào thứ hai là

suy ra mệnh đề đúng.

PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.

Câu 1: Cho lăng trụ tam giác đều có cạnh . Gọi là trung điểm cạnh . Biết góc giữa hai đường thẳng và là . Tính khoảng cách giữa đường thẳng và . (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

Lời giải

Trả lời:

 

Gọi là trung điểm của , dễ thấy .

Ta có .

Dẫn đến ;

.

Do đó: .

Từ kẻ mà ta có nên .

Suy ra .

.

Câu 2: Có ba lớp học sinh gồm 128 em cùng tham gia lao động trồng cây. Mỗi em lớp trồng được 3 cây bạch đàn và 4 cây bàng. Mỗi em lớp trồng được 2 cây bạch đàn và 5 cây bàng. Mỗi em lớp trồng được 6 cây bạch đàn. Cả ba lớp trồng được là 476 cây bạch đàn và 375 cây bàng. Hỏi lớp 10C có bao nhiêu học sinh?

Lời giải

Trả lời:

Gọi số học sinh của lớp lần lượt là . Điều kiện nguyên dương.

Theo đề bài, ta lập được hệ phương trình .

Vậy lớp có 45 em.

Câu 3: Trong không gian , một ngọn hải đăng được đặt ở vị trí , biết bán kính phủ sóng của ngọn đèn là . Giả sử người đi biển di chuyển theo đường thẳng từ vị trí đến vị trí . Tìm cao độ của vị trí cuối cùng trên đoạn thẳng sao cho người đi biển còn có thể nhìn thấy được ánh sáng từ ngọn hải đăng.

Lời giải

Trả lời:

Đường thẳng đi qua điểm I và nhận làm vectơ chỉ phương.

Phương trình tham số của đường thẳng là .

Giả sử H là vị trí cuối cùng trên đoạn thẳng sao cho người đi biển có thể nhìn thấy ánh sáng từ ngọn hải đăng. Khi đó IH = R.

Ta có H ∈ nên gọi tọa độ điểm .

IH = R 

⇔ t ≈ ± 0,78.

+ Với , ta có và

Khi đó nên hai vectơ , cùng hướng, vậy thỏa mãn H thuộc đoạn thẳng .

+ Với , ta có và

Khi đó  nên hai vectơ , ngược hướng, vậy thỏa mãn H không thuộc đoạn thẳng .

Vậy vị trí cuối cùng trên đoạn thẳng sao cho người đi biển còn có thể nhìn thấy được ánh sáng từ ngọn hải đăng là điểm , cao độ là 11.

Câu 4: Sân trường có một bồn hoa hình tròn tâm . Một nhóm học sinh lớp 12 được giao thiết kế bồn hoa, nhóm này định chia bồn hoa thành bốn phần bởi hai đường parabol có cùng đỉnh và đối xứng nhau qua . Hai đường parabol này cắt đường tròn tại bốn điểm tạo thành một hình vuông có cạnh bằng 4 m (như hình vẽ). Phần diện tích dùng để trồng hoa, phần diện tích dùng để trồng cỏ (Diện tích làm tròn đến chữ số

thập phân thứ hai). Biết kinh phí trồng hoa là 150.000 đồng/m²,

kinh phí để trồng cỏ là 100.000 đồng/m². Hỏi nhà trường cần

bao nhiêu tiền để trồng bồn hoa đó? (Đơn vị tính nghìn đồng)

chục nghìn).

Lời giải

Trả lời: 3270.

Chọn hệ trục tọa độ vuông góc như hình vẽ.

Bồn hoa là hình tròn tâm , bán kính bằng suy ra phương trình đường tròn biểu diễn cho bồn hoa là

Phương trình nửa đường tròn phía trên trục hoành là .

Đường parabol nằm phía trên trục hoành có phương trình .

Phần diện tích m².

Dễ thấy nên diện tích phần trồng hoa là m².

Vậy kinh phí trồng hoa là 2.280.000 đồng.

Diện tích trồng cỏ bằng diện tích bồn hoa trừ đi diện tích trồng hoa, bằng m².

Suy ra kinh phí trồng cỏ là 990.000 đồng.

Vậy số tiền nhà trường cần để trồng bồn hoa đó là ( đồng).

Vậy số tiền nhà trường cần để trồng bồn hoa đó là(nghìn đồng),

Câu 5: Một con cá hồi bơi ngược dòng (từ nơi sinh sống) vượt khoảng cách để tới nơi sinh sản. Vận tốc dòng nước là . Giả sử vận tốc hơi của cả khi mước đứng yên là thì năng lượng tiêu hao của cả trong giờ cho bởi công thức trong đó là hàng số cho trước. tính hằng Jun. Tình vận tốc bơi của cả khi nước đứng yên, để năng lượng của cả tiêu hao ít nhất?

Lời giải

Trả lời:

Theo đề bài, vận tốc của cá khi bơi trên sông là , khi đó thời gian để cá bơi đến nơi sinh sản là .

Khi đó, với . Đặt .

Bài năng lượng tiêu hao của cá được tính bởi hàm số:

với .

Ta có: .

Bảng biến thiên:

Vậy hay khi vận tốc của cá khi nước đứng yên là thì cá ít tốn năng lượng nhất.

Câu 6: Có lọ hóa chất trong đó có lọ loại I, Iọ loại II. Nếu dùng lọ loại I thì kết quả tốt với xác suất , nếu dùng lọ loại II thì kết quả tốt với xác suất . Tìm xác suất để lọ hóa chất tốt này thuộc loại I.

Lời giải

Trả lời:

Gọi là biến cố: "Lấy được lọ hóa chất loại I", là biến cố: "Lấy được lọ hóa chất loại II", là biến cố: "Lấy được lọ hóa chất có kết quả tốt".

Ta có:

Theo công thức xác suất đầy đủ

Khi đó ta cần tính xác suất , theo công thức Bayes